Question

12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为$\frac{3}{2}$cm，AC=8cm，设运动时间为t秒．
（1）求证：NQ=MQ；
（2）填空：
①当t=$\frac{8}{3}$时，四边形AMQN为菱形；
②当t=2时，NQ与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）先利用垂径定理得到PM=PN，则AB垂直平分MN，然后利用线段垂直平分线的性质可得到NQ=MQ；
（2）①AP=t，CQ=t，则PQ=8-t-t=8-2t，根据菱形的判定方法，当AP=PQ时，四边形AMQM为菱形，所以t=8-2t，然后解方程即可；
②作OH⊥QN于H，如图，OQ=AC-AO-CQ=8-$\frac{3}{2}$-t=$\frac{13}{2}$-t，OP=t-$\frac{3}{2}$，利用切线的判定方法，当ON⊥QN时，QN为⊙O的切线，通过证明△ONP∽△OQN，利用相似比可得到（t-$\frac{3}{2}$）：$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$：（$\frac{13}{2}$-t），然后解方程即可．

解答 （1）证明：∵AB⊥MN，
∴PM=PN
∴AB垂直平分MN，
∴NQ=MQ；
（2）解：①AP=t，CQ=t，则PQ=8-t-t=8-2t，
∵AQ⊥MN，PM=PN，
∴当AP=PQ时，四边形AMQM为菱形，
即t=8-2t，解得t=$\frac{8}{3}$；
②作OH⊥QN于H，如图，
OQ=AC-AO-CQ=8-$\frac{3}{2}$-t=$\frac{13}{2}$-t，OP=t-$\frac{3}{2}$，
当ON⊥QN时，QN为⊙O的切线，
∵∠NOQ=∠PON，
∴△ONP∽△OQN，
∴OP：ON=ON：OQ，
即（t-$\frac{3}{2}$）：$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$：（$\frac{13}{2}$-t），
整理得t²-8t+12=0，解得t₁=2，t₂=6（舍去），
∴t=2时，NQ与⊙O相切

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定和菱形的判定；会利用代数法解决动点问题；能利用相似比表示线段之间的关系．