Question

12．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=20，AD⊥BC于D，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，四边形PQRS是正方形，则正方形PQRS的边长为$\frac{20}{3}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意得SR∥BC，故∠ARS=∠B；而∠SAR=∠BAC，即可证明△ARS∽△ABC．设出正方形的边长为x，则设SR=RP=x，表示出AE=10$\sqrt{2}$-x；根据△ASR∽△ABC，列出关于λ的比例式，求出λ即可解决问题．

解答 解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=20，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=20$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$BC=10$\sqrt{2}$，
设正方形的边长为x，
∴SR=RP=x，而AD⊥BC，
∴DE=RP=x，AE=10$\sqrt{2}$-x；
∵四边形PQSR是正方形，
∴SR∥BC，∠ARS=∠B；而∠SAR=∠BAC，
∴△ARS∽△ABC．
∴$\frac{RS}{BC}=\frac{AE}{AD}$
∴$\frac{x}{20\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}-x}{10\sqrt{2}}$，
∴x=$\frac{20}{3}\sqrt{2}$即正方形PQRS的边长为$\frac{20}{3}\sqrt{2}$．
故答案为$\frac{20}{3}\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出图形中的对应元素，正确列出比例式来分析、判断或解答．