题目内容
5．
在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+3x+c经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．动点P从O点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF．
①当点E落在抛物线y1上时，求OP的长；
②若点P的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q点到达O点时P、Q两点停止运动．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t的值．（正方形在x轴上的边除外）
分析 （1）利用二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），分别代入求出a，c的值，即可求得解析式，然后令y=0，解方程即可求得B的坐标；
（2）①过A点作AH⊥x轴于H点，根据DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，进而求出OP的长；
②分别利用当点F、点N重合时，当点F、点Q重合时，当点P、点N重合时，当点P、点Q重合时，求出t的值即可．
解答 
解：（1）∵抛物线y1=ax2+3x+c经过原点及点A（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ a+3+c=2\end{array}$ 解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=0\end{array}$
∴抛物线y1的解析式为y1=-x2+3x，
令y1=0，得-x2+3x=0，解得x1=0，x2=3，
∴B（3，0）；
（2）①由题意，可得C（6，0），
如图一，过A作AH⊥x轴于H，设OP=a，
∵DP∥AH，
∴△ODP∽△OAH，
∴$\frac{DP}{OP}$=$\frac{AH}{OH}$=2，
∴DP=2OP=2a，
∵正方形PDEF，∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在抛物线y1=-x2+3x上，
∴2a=-9a2+9a，解得a1=0（舍去），a2=$\frac{7}{9}$，
∴OP的长为$\frac{7}{9}$，
②设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}2=k+b\\ 0=6k+b\end{array}$ 解得k=-$\frac{2}{5}$，b=$\frac{12}{5}$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{12}{5}$，
由题意，OP=t，PF=2t，QC=2t，GQ=$\frac{4}{5}$t；
如图1，当EF与MN重合时，则OF+CN=6，
∴3t+2t+$\frac{4}{5}$t=6，
∴t=$\frac{30}{29}$；
如图2，当EF与GQ重合时，则OF+QC=6，
∴3t+2t=6，
∴t=$\frac{6}{5}$；
如图3，当DP与MN重合时，则OP+CN=6，
∴t+2t+$\frac{4}{5}$t=6，
∴t=$\frac{30}{19}$；
如图4，当DP与GQ重合时，则OP+CQ=6，
∴t+2t=6，
∴t=2．
点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质以及待定系数法求解析式，根据已知结合图象分类讨论得出t的值是解题关键．
全能练考卷系列答案
A、B两名同学在一个学校上学，B同学上学的路上经过A同学家．A同学步行，B同学骑自行车，某天，A，B两名同学同时从家出发到学校，如图，lA表示A同学离B同学家的路程sA（m）与行走时间t（min）之间的函数关系图象，lB表示B同学离家的路程sB（m）与行走时间t（min）之间的函数关系图象．
如图，A（-2，0），B（0，4），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC，则C点坐标为（-4，6）．
如图，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上），给出以下判断：
如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．