Question

14．观察下列算式：1²=$\frac{1×2×3}{6}$，1²+2²=$\frac{2×3×5}{6}$，1²+2²+3²=$\frac{3×4×7}{6}$，1²+2²+3²+4²=$\frac{4×5×9}{6}$，…，请用字母表示数，将你发现的一般规律用一个等式表示出来：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 观察不难发现，从1开始的平方数的和，分母都是6，分子为最后一个数与比它大1的数的积再乘以比这个数的2倍大1的数的积．

解答 解：∵第1个式子为：1²=$\frac{1×2×3}{6}$，
第2个式子为：1²+2²=$\frac{2×3×5}{6}$，
第3个式子为：1²+2²+3²=$\frac{3×4×7}{6}$，
第4个式子为：1²+2²+3²+4²=$\frac{4×5×9}{6}$，
…，
∴第n个式子为：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
故答案为：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．