Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=AC，∠BAC的平分线AD的与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD与AC的延长线交于点F，H是CD的中点，连接OH．
（1）试探究AB、AC、AE三条线段之间的等量关系式；
（2）OH•DE=

2- 2

2

，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理,垂径定理,圆周角定理,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）如图1，易证△ACE≌△BCF（ASA），则有AE=BF；易证△ADF≌△ADB，则有AF=AB，DF=DB．根据圆内接四边形的性质可得∠CDF=∠BAF，从而可证到△FCD∽△FBA，根据相似三角形的性质可得FD•FB=FC•FA，然后通过等量代换就可得到AB、AC、AE之间的等量关系．
（2）过点O作OG⊥BD于G，连接OC，如图2，由垂径定理可得G为BD的中点．根据三角形中位线定理可得AD=2OG．然后根据勾股定理可证到OH=OG，从而有AD=2OH．然后通过证明△BDE∽△ADB得到BD²=AD•DE，再根据条件可求出AE²．设AC=x，则BC=x，AB=

2

x，然后利用（1）中已证出的AB、AC、AE之间的等量关系，得到关于x的方程，求出x²，进而可求出⊙O的面积．

解答：解：（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ACE和△BCF中，

∠ACE=∠BCF=90° AC=BC ∠CAE=∠CBF

，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF．
在△ADF和△ADB中，

∠FAD=∠BAD AD=AD ∠ADF=∠ADB

，
∴△ADF≌△ADB，
∴AF=AB，DF=DB．
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠CDF=∠BAF．
∵∠F=∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴

FD

FA

=

FC

FB

，即FD•FB=FC•FA，
∵FB=AE，FD=

1

2

BF=

1

2

AE，FA=AB，FC=FA-AC=AB-AC，
∴

1

2

AE²=（AB-AC）•AB，
∴AE²=2（AB-AC）•AB=2AB²-2AC•AB．

（2）过点O作OG⊥BD于G，连接OC，如图2，
由垂径定理可得G为BD的中点．
∵O为AB的中点，G为BD的中点，
∴OG=

1

2

AD，即AD=2OG．
∵∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴CH=BG．
∵OH²=OC²-CH²，OG²=OB²-GB²，OC=OB，
∴OH=OG，
∴AD=2OG=2OH．
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∠EDB=∠BDA，
∴△BDE∽△ADB，
∴

BD

AD

=

DE

DB

，即BD²=AD•DE，
∴BD²=2OH•DE．
∵OH•DE=

2- 2

2

，
∴BD²=2-

2

．
∵AE=BF=2BD，
∴AE²=4BD²=8-4

2

．
设AC=x，则BC=x，AB=

2

x．
∵AE²=2AB²-2AC•AB，
∴8-4

2

=4x²-2

2

x²=（4-2

2

）x²，
∴x²=2，
∴S_⊙O=π•（

AB

2

）²=π•（

2 x

2

）²=

π

2

x²=π．
∴⊙O的面积为π．

点评：本题考查垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．