Question

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，BE⊥CD，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F，若$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，AC=6$\sqrt{5}$，则DE=2．

Answer 1

分析 先证明△BCE≌△CAF，得出CF=BE，AF=CE，由于AC已知，从而可算出CF、AF、CE，再加上BE∥AF，$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，即可轻松求出DE．

解答 解：∵BE⊥CD于E，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠FCA=90°，
∴∠EBC=∠FCA，
∵AF⊥CD于F，
∴BE∥AF，∠AFC=∠CEB=90°，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA}\\{∠EBC=∠FCA}\\{∠CEB=∠AFC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴CE=AF，BE=CF，
∵$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$，
∵AC=6$\sqrt{5}$，
∴CF=6，AF=12，
∴CE=AF=12，EF=CE-CF=6，
∴DE=$\frac{1}{3}EF$=2．
故答案为2．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例等知识点，难度适中．观察并证明△BCE≌△CAF是解决本题的突破口和关键．