Question

5．如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，求轮船与灯塔的最短距离．（精确到0.1，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 过点P作PC⊥AB于C点，在Rt△PAC中，根据三角函数AC、BC就可以PC表示出来，在直角△PAC中，根据三角函数，就得到一个关于PC的方程，求得PC．

解答 解：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意，得
AB=18×$\frac{20}{60}$=6，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°，
∴PC=BC，
在Rt△PAC中，tan30°=$\frac{PC}{AB+BC}$=$\frac{PC}{6+PC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{PC}{6+PC}$，
解得PC=3$\sqrt{3}$+3≈8.2（海里），
∴轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．

点评 本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．