Question

10．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当点B于点O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示．
①求证：EF平分∠AEC；
②求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由当点B于点O重合的时候，BO=OD+BD=4cm，又由三角板以2cm/s的速度向右移动，即可求得三角板运动的时间；
（2）①连接OF，由AC与半圆相切于点F，易得OF⊥AC，然后由∠ACB=90°，易得OF∥CE，继而证得EF平分∠AEC；
②由△AFO是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm，可求得AF的长，由EF平分∠AEC，易证得△AFE是等腰三角形，且AF=EF，则可求得答案．

解答 解：（1）∵当点B于点O重合的时候，BO=OD+BD=4cm，
∴t=$\frac{4}{2}$=2（s）；
∴三角板运动的时间为：2s；

（2）①证明：连接O与切点F，则OF⊥AC，
∵∠ACE=90°，
∴EC⊥AC，
∴OF∥CE，
∴∠OFE=∠CEF，
∵OF=OE，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠CEF，
即EF平分∠AEC；

②解：由①知：OF⊥AC，
∴△AFO是直角三角形，
∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm，
∴tan30°=$\frac{3}{AF}$，
∴AF=3$\sqrt{3}$cm，
由①知：EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°，
∴∠AEF=∠EAF，
∴△AFE是等腰三角形，且AF=EF，
∴EF=3$\sqrt{3}$cm．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．