题目内容
15．
如图，在四边形AOBC中，AC∥OB，顶点O是原点，顶点A的坐标为（0，8），AC=24cm，OB=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点B同时出发，以3m/s的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动；从运动开始，设P（Q）点运动的时间为ts．（1）求直线BC的函数解析式；
（2）当t为何值时，四边形AOQP是矩形？
（3）当t为何值时，PQ=BC？并求出此时直线PQ与直线BC的交点坐标．
分析 （1）首先根据顶点A的坐标为（0，8），AC=24cm，OB=26cm，分别求出点B、C的坐标各是多少；然后应用待定系数法，求出直线BC的函数解析式即可．
（2）根据四边形AOQP是矩形，可得AP=OQ，据此求出t的值是多少即可．
（3）根据题意，分两种情况：①当四边形PQBC是平行四边形时；②当四边形PQBC是等腰梯形时；然后根据PQ=BC，求出t的值是多少；最后联立直线PQ与直线BC的解析式，求出直线PQ与直线BC的交点坐标是多少即可．
解答 解：（1）如图1，
∵顶点A的坐标为（0，8），AC=24cm，OB=26cm，
∴B（26，0），C（24，8），
设直线BC的函数解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{26k+b=0}\\{24k+b=8}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=104}\end{array}\right.$
∴直线BC的函数解析式是y=-4x+104．
（2）如图2，
∵四边形AOQP是矩形，
∴AP=OQ，
∴t=26-3t，
解得t=6.5，
∴当t为6.5时，四边形AOQP是矩形．
（3）①如图3，
当四边形PQBC是平行四边形时，PQ=BC，PC=BQ，
∴24-t=3t，
解得t=6，
此时直线PQ与直线BC没有交点．
②如图4，作CD∥PQ交OB于点D，
当四边形PQBC是等腰梯形时，PQ=BC，
∵PC=BQ-BD，
∴24-t=3t-（26-24）×2，
解得t=7，
∴AP=7，OQ=26-3×7=5，
∴P（7，8）、Q（5，0），
设直线PQ的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{7m+n=8}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=-20}\end{array}\right.$
∴直线PQ的解析式是y=4x-20，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-20}\\{y=-4x+104}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{31}{2}}\\{y=42}\end{array}\right.$
∴此时直线PQ与直线BC的交点坐标是（$\frac{31}{2}$，42）．
点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了待定系数法求出直线的解析式，要熟练掌握．
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