Question

4．如图，已知△ABC，AC＜AB．
（1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线l，使得点C关于直线l的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）设直线l与边BC的交点为D，且∠C=2∠B，请你通过观察或测量，猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先作∠BAC的平分线l，再过点C作CF⊥l交AB于F，则可得到点C和F点关于l对称，所以l为所作；
（2）连结DF，如图，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，则AD垂直平分CF，所以DF=DC，则∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF，接着证明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，则FB=FD=CD，则易得AB=AF+FB=AC+CD．

解答 解：（1）如图，直线l为所作；

（2）AB=AC+CD．理由如下：
连结DF，如图，
∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，
∴AF=AC，
∴AD垂直平分CF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，
∵∠AFC=∠ACF，
∵∠AFC=∠B+∠BCF，
∴∠ACF=∠B+∠BCF，
∵∠ACB=2∠B，
∴2∠B-∠BCF=∠B+∠BCF，
∴∠B=2∠BCF，
∴∠B=∠BDF，
∴FB=FD，
∴FB=CD，
∴AB=AF+FB=AC+CD．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．