如图.直线y=$\frac{1}{3}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点A.将直线y=$\frac{1}{3}$x向上平移3个单位得到直线y=ax+b.它与y轴交于点C.与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点B．若OA=2BC．(1)求双曲线y=$\frac{k}{x}$的表达式,(2)根据图象直接写出ax+b-$\frac{k}{x}$＜0时x的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，直线y=$\frac{1}{3}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=$\frac{1}{3}$x向上平移3个单位得到直线y=ax+b，它与y轴交于点C，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点B．若OA=2BC．
（1）求双曲线y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）根据图象直接写出ax+b-$\frac{k}{x}$＜0时x的取值范围．

分析（1）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（2x，$\frac{2}{3}$x），由于OA=3BC，故可得出B（x，$\frac{1}{3}$x+3），再根据反比例函数中k=xy为定值求出k的值即可．
（2）联立方程，求得交点B的坐标，根据图象即可求得ax+b-$\frac{k}{x}$＜0时x的取值范围．

解答解：（1）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（2x，$\frac{2}{3}$x），
∵OA=2BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=$\frac{1}{2}$OD，
∵点B在直线y=$\frac{1}{3}$x+3上，
∴B（x，$\frac{1}{3}$x+3），
∵点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上，
∴2x•$\frac{2}{3}$x=x•（$\frac{1}{3}$x+3），解得x=3，
∴k=2×3×$\frac{2}{3}$×3=12．
∴双曲线的表达式为y=$\frac{12}{x}$．
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+3}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴B（3，4），
∴ax+b-$\frac{k}{x}$＜0时x的取值范围是0＜x＜3．