Question

已知反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A（2，a）（a＞0），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将线段AB沿x轴正方向平移，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象相交于点F（p，q）．
（1）当F点恰好为线段的中点时，求直线AF的解析式 （用含a的代数式表示）；
（2）若直线AF分别与x轴、y轴交于点M、N，当q=-a²+5a时，令S=S_△ANO+S_△MFO（其中O是原点），求S的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先把点A（2，a）代入反比例函数y=

k

x

（x＞0）求出k的值，再根据F为线段的中点可知F的纵坐标为

a

2

，把y=

a

2

代入y=

2a

x

可得出x的值，进而得出点F的坐标，利用待定系数求出直线AF的解析式即可；
（2）根据点F（p，q） 在反比例函数y=

2a

x

的图象上且q=-a²+5a可得出F点的坐标，故可得出直线AF的解析式，进而得出M、N的坐标，过A作AG⊥y轴于点G，则可得出AG，ON，OM，FH的长，根据S=S_△ANO+S_△MFO=

1

2

•ON•AG+

1

2

OM•FH可得出关于S、a的二次函数，根据a的取值范围即可得出结论．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A（2，a）（a＞0），
∴k=2a，
∴y=

2a

x

，
∵F为线段的中点，
∴F的纵坐标为

a

2

，把y=

a

2

代入y=

2a

x

得x=4
∴F（4，

a

2

），
设直线AF的解析式为y=k₁x+b，
∴

2k1+b=a 4k1+b= a 2

，
解得

k1=- a 4 b= 3a 2

，
∴直线AF的解析式为y=-

a

4

x+

3a

2

；

（2）∵F（p，q） 在反比例函数y=

2a

x

的图象上，
∴q=

2a

p

，
∵q=-a²+5a，
∴p=

2

5-a

，
∴F（

2

5-a

，-a²+5a）
∴直线AF的解析式为：y=

a2-5a

2

x+（6a-a²），
∴N（0，6a-a²），M（

2a-12

a-5

，0），
过A作AG⊥y轴于点G，
方法一：则AG=2，ON=6a-a²，OM=

2a-12

a-5

，FH=-a²+5a
S=S_△ANO+S_△MFO=

1

2

•ON•AG+

1

2

OM•FH
=

1

2

×2×（6a-a²）+

1

2

•

2a-12

a-5

•（-a²+5a）
=-2a²+12a
=-2（a-3）²+18
方法二：∵H（

-2

a-5

，0），G（0，a），MN=2，FH=-a²+5a，AG=2，NG=-a²+5a，
∴∠AGN=∠FHM=90°，
∴△AGN≌△MHF，
∵点A、F在双曲线y=

2x

x

上，
∴S_△AOG=S_△OFH=a，
∴S_△AON=S_△OFM，
∴S=2S△AON=2×

1

2

ON•AG=2×

1

2

（6a-a²）×2
=-2a²+12a．
∵q＞0，q＜a，
∴4＜a＜5．
∴由函数性质可知，10＜S＜16．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识是解答此题的关键．