Question

1．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O、P、D分别在AC、AB、BC上，AO=3，OP=OD，且∠DOP=60°，则AP的长是6．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出∠A=∠C=60°，求出OC=AC-AO=6，由三角形的外角性质得出∠OPA=∠DOC，由AAS证明△AOP≌△CDO，得出对应边相等即可．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵AC=9，AO=3，
∴OC=AC-AO=6，
∵∠DOP+∠DOC=∠A+∠OPA，∠DOP=60°，
∴∠OPA=∠DOC，
在△AOP和△CDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{∠OPA=∠DOC}&{\;}\\{OP=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．