Question

5．直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＜0）交于点A（-1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得直线解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的判定，可得△OCB是等腰直角三角形，根据正弦函数，可得OM的长，根据勾股定理，可得OA的长，再根据锐角三角函数的定义，可得答案．

解答 解：（1）将C点代入y=x+b中得到b=-4，
∴y=x-4；
再将A点带入y=x-4得到n=-5，
∴A（-1，-5），
∴m=-1×（-5）=5，
∴y=$\frac{5}{x}$
∴直线与双曲线的解析式分别为y=x-4，y=$\frac{5}{x}$；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，

当x=0时，y=-4，即B（0，-4）．
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴在△OMB中 sin45°=$\frac{OM}{OB}$，
∴OM=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴在直角三角形AOM中，
AO=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-5-0）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
sin∠OAB=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用正弦函数得出OM的长是解题关键．