题目内容
15．已知，两个全等的直角三角形△ABC和△DEF如图1摆放，使B，C，D，F四点在同一直线上，点C与点F重合．连接AD，直线AB与直线DE交于点H，△ABC和△DEF中，斜边长都为2，∠ACB=∠EFD=90°，较小锐角都为30°．（1）则AB⊥DE（填“⊥”或“∥”）；
（2）如图2，将图1中的△ABC向右平移，当AH=DH时，求∠CAD的度数；
（3）将图1中的△ABC沿AC翻折得△AB1C（如图3）．此时，AH=DH（填“＜”或“=”或“＞”），
分析 （1）利用全等三角形的性质得出∠BAC=∠EDF，再用直角三角形的两锐角互余，借助对顶角即可得出∠AEH+∠BAC=90°，即可；
（2）利用（1）的结论和AH=DH求出∠DAH，用角的差即可求出∠CAD；
（3）先由全等三角形的性质得出CE=CB1，从而判断出∠HEB1=∠HB1E即可得出HE=HB1，即可判断出△AEH≌△DB1H，即可得出结论．
解答 解（1）∵两个全等的直角三角形△ABC和△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，
∵∠DFE=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠DEF+∠BAC=90°，
∵∠DEF=∠AEH，
∴∠AEH+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AB⊥DE，
故答案为：⊥；
（2）由（1）知，DE⊥AB，
∴∠AHD=90°，
∵AH=DH，
∴∠HAD=∠ADH=45°，
∵∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠DAH-∠BAC=15°；
（3）如图3，
连接B1E，
由折叠得，CE=CB=CB1，∠A=30°，
∵∠ACD=90°
∴∠CEB1=∠CB1E=45°，
由题意知，∠CED=∠AB1C=60°，∠A=∠D=30°，
∴∠HEB1=∠HB1E=15°，
∴HE=HB1，
在△AEH和△DB1H中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠AHE=∠DH{B}_{1}}\\{EH={B}_{1}H}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△DB1H，
∴AH=DH，
故答案为：=．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出DE⊥AB．
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