已知.两个全等的直角三角形△ABC和△DEF如图1摆放.使B.C.D.F四点在同一直线上.点C与点F重合．连接AD.直线AB与直线DE交于点H.△ABC和△DEF中.斜边长都为2.∠ACB=∠EFD=90°.较小锐角都为30°．(1)则AB⊥DE,(2)如图2.将图1中的△ABC向右平移.当AH=DH时.求∠CAD的度数,(3)将图1中的△ABC沿AC翻折得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知，两个全等的直角三角形△ABC和△DEF如图1摆放，使B，C，D，F四点在同一直线上，点C与点F重合．连接AD，直线AB与直线DE交于点H，△ABC和△DEF中，斜边长都为2，∠ACB=∠EFD=90°，较小锐角都为30°．
（1）则AB⊥DE（填“⊥”或“∥”）；
（2）如图2，将图1中的△ABC向右平移，当AH=DH时，求∠CAD的度数；
（3）将图1中的△ABC沿AC翻折得△AB₁C（如图3）．此时，AH=DH（填“＜”或“=”或“＞”），

分析（1）利用全等三角形的性质得出∠BAC=∠EDF，再用直角三角形的两锐角互余，借助对顶角即可得出∠AEH+∠BAC=90°，即可；
（2）利用（1）的结论和AH=DH求出∠DAH，用角的差即可求出∠CAD；
（3）先由全等三角形的性质得出CE=CB₁，从而判断出∠HEB₁=∠HB₁E即可得出HE=HB1，即可判断出△AEH≌△DB₁H，即可得出结论．

解答解（1）∵两个全等的直角三角形△ABC和△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，
∵∠DFE=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠DEF+∠BAC=90°，
∵∠DEF=∠AEH，
∴∠AEH+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AB⊥DE，
故答案为：⊥；
（2）由（1）知，DE⊥AB，
∴∠AHD=90°，
∵AH=DH，
∴∠HAD=∠ADH=45°，
∵∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠DAH-∠BAC=15°；
（3）如图3，连接B₁E，
由折叠得，CE=CB=CB₁，∠A=30°，
∵∠ACD=90°
∴∠CEB₁=∠CB₁E=45°，
由题意知，∠CED=∠AB₁C=60°，∠A=∠D=30°，
∴∠HEB₁=∠HB₁E=15°，
∴HE=HB1，
在△AEH和△DB₁H中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠AHE=∠DH{B}_{1}}\\{EH={B}_{1}H}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△DB₁H，
∴AH=DH，
故答案为：=．