Question

如图，?ABCD中，四个内角的角平分线交于两点E，F，连接EF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若AD=8，AB=5，试求线段EF的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的对角相等可得∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，再根据角平分线的定义可得∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠ADC，从而得到∠ABE=∠CDF，同理，∠BAE=∠DCF，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）延长AE交BC于G，根据平行四边形的邻角互补和角平分线的定义求出∠BAE+∠ABE=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AB=BG，根据等边对等角可得∠BAE=∠BGE，再求出∠BGE=∠BCF，然后求出四边形CFEG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CG，然后求解即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∵点E、F是四个内角的平分线的交点，
∴∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
同理，∠BAE=∠DCF，
∴△ABE∽△CDF；

（2）解：如图，延长AE交BC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵点E、F是四个内角的平分线的交点，
∴∠BAE+∠ABE=

1

2

（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴BE⊥AG，
又∵BE平分∠ABC，
∴AB=BG=5，AE=EG，
∴∠BAE=∠BGE，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
∴∠BGE=∠BCF，
∴CF∥EG，
∵△ABE∽△CDF，AB=CD，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴EG=CF，
∴四边形CFEG是平行四边形，
∴EF=CG，
∵CG=BC-BG=8-5=3，
∴EF=3．

点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，难在于（2）作辅助线构造出平行四边形．