Question

如图，圆O内接三角形△ABC．把△ABC以点O为旋转中心，顺时针方向旋转∠BOA的度数得到△EAF．
（1）利用尺规作出△EAF（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接CE，设EF与AC，BC分别交于点K和D，求证：CD²=DE•DK．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,相似三角形的判定与性质

专题：作图题,证明题

分析：（1）根据旋转的性质，点B旋转后与点A重合，再以点A为圆心，以AB为半径画弧，在点A的左侧与圆相交于点E，以BC为半径画弧，在点A的右侧与圆相交于点F，然后顺次连接即可；
（2）由作图可知∠AOB=∠AOE=∠COF，然后求出∠ACB=∠CEF，再判断出△CED和△KCD相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证．

解答：（1）解：△EAF如图所示；

（2）证明：由（1）作图可知∠AOB=∠AOE=∠COF，
∴∠ACB=∠CEF，
又∵∠CDE=∠KDC，
∴△CED∽△KCD，
∴

CD

DE

=

DK

CD

，
即CD²=DE•DK．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，相似三角形的判定与性质，熟记旋转的性质并判断出旋转后点B与点A重合是解题的关键．