Question

如图在平面直角坐标系中，已知抛物线y=

1

2

x2+bx+c经过A（-4，0），B（0，-4），点P（-6，0）在x轴上，点Q为平面内一点（不与A，C重合），且△ACQ是以AC为斜边的直角三角形，连接PQ，设直线PQ与x轴所夹的锐角为α．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）当a＜0时，点P（a，y₁），Q（a-1，y₂）在抛物线上，比较y₁，y₂大小；
（3）当α最大时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（-4，0），B（0，-4）代入抛物线的解析式y=

1

2

x2+bx+c，运用待定系数法即可求解；
（2）先将P，Q的坐标代入（1）的抛物线解析式中，可得出y₁、y₂的表达式，计算y₁-y₂，然后看得出的结果中在x的不同取值范围下，y₁、y₂的大小关系；
（3）先由△ACQ是以AC为斜边的直角三角形，得出点Q在以AC为直径的圆D上；再解方程

1

2

x²+x-4=0，得到C点的坐标为（2，0），则⊙D的半径为3，点D的坐标为（-1，0）；再连接DQ，当α最大时，得到PQ为⊙D的切线，由切线的性质得到∠PQD=90°，根据勾股定理求出PQ=4；过点Q作QE⊥x轴于点E，然后根据锐角三角函数的定义分别求出QE=

12

5

，PE=

16

5

，进而得到点Q的坐标，注意点Q可以在第二象限，也可以在第三象限．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+bx+c经过A（-4，0），B（0，-4），
∴

1 2 ×16-4b+c=0 c=-4

，
解得

b=1 c=-4

，
∴抛物线的函数关系式为y=

1

2

x²+x-4；

（2）∵点P（a，y₁），Q（a-1，y₂）都在该抛物线上，
∴y₁-y₂=（

1

2

a²+a-4）-[

1

2

（a-1）²+（a-1）-4]=a+

1

2

．
当a+

1

2

＞0，即-

1

2

＜a＜0时，y₁＞y₂，
当a+

1

2

=0，即a=-

1

2

时，y₁=y₂，
当a+

1

2

＜0，即a＜-

1

2

时，y₁＜y₂；

（3）如图．
∵△ACQ是以AC为斜边的直角三角形，
∴点Q在以AC为直径的圆上．
设AC的中点为D，则⊙D的直径为AC．
∵抛物线y=

1

2

x²+x-4与x轴交于点A、C，且A（-4，0），
解方程

1

2

x²+x-4=0，得x=-4或2，
∴C（2，0），
∴AC=6，⊙D的半径为3，点D的坐标为（-1，0）．
连接DQ，当α最大时，PQ为⊙D的切线，∠PQD=90°，DQ=3．
在△PQD中，∵∠PQD=90°，DQ=3，PD=-1-（-6）=5，
∴PQ=

PD2-DQ2

=4．
过点Q作QE⊥x轴于点E．
∵sin∠QPE=

QE

PQ

=

DQ

PD

，cos∠QPE=

PE

PQ

=

PQ

PD

，
∴QE=

PQ•DQ

PD

=

4×3

5

=

12

5

，PE=

PQ2

PD

=

16

5

，
∴OE=OP-PE=6-

16

5

=

14

5

．
当点Q在第二象限时，Q（-

14

5

，

12

5

）；
当点Q在第三象限时，Q（-

14

5

，-

12

5

）．
综上可知，当α最大时，点Q的坐标为（-

14

5

，

12

5

）或（-

14

5

，-

12

5

）．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数的定义，综合性较强，有一定难度．运用差比法比较两个代数式的大小是一种常用的方法；（3）中根据圆周角定理得出点Q在以AC为直径的圆D上及根据切线的性质得出当α最大时，PQ为⊙D的切线是解题的关键．