Question

8．如图，AE是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，直线BP交⊙O于A、B两点且垂直于CD，垂足为点D，
（1）求证：AC平分∠PAE；     
（2）若AD+DC=6，AB=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则有OC∥BP，根据平行线的性质得∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，所以AC平分∠PAE； 
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=4，设⊙O的半径为r，由四边形OHDC为矩形得到DH=OC=r，OH=CD，则DA=r-4，CD=10-r，所以OH=10-r，然后在Rt△OAH中利用勾股定理得到∴4²+（10-r）²=r²，再解方程求出r即可．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵BP⊥CD，
∴OC∥BP，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AC平分∠PAE； 
（2）解：作OH⊥AB于H，如图，则AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=4，
设⊙O的半径为r，易得四边形OHDC为矩形，
∴DH=OC=r，OH=CD，
∴DA=r-4，
而AD+CD=6，
∴CD=6-（r-4）=10-r，
∴OH=10-r，
在Rt△OAH中，∵AH²+OH²=OA²，
∴4²+（10-r）²=r²，解得r=$\frac{29}{5}$，
即⊙O的半径为$\frac{29}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和勾股定理．