Question

6．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线l
（1）作BD⊥l于点D，CE⊥l于E点，若B点和C点在直线l的同侧，求证：DE=BD+CE；
（2）若直线l绕点A旋转到B点和C点在其西侧，其余条件不变，问：BD、DE、CE的关系如何？请予以证明．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可解决问题．
（2）由AAS证明证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE，AD=CE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC，
∴∠DBA=∠EAC；
在△ABD与△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBA=∠EAC}&{\;}\\{∠BDA=∠AEC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=BD+CE．
（2）解：CE=BD+DE；理由如下：
同（1）得：∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}&{\;}\\{∠ADB=∠CEA}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD=AE+DE，
∴CE=BD+DE．

点评 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．