Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②BG=GC；
（2）求△FGC的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；
②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=6-x，EG=2+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；
（2）根据三角形的面积公式可得：S_△FGC=

3

5

S_△EGC，即可求解．

解答：解：（1）证明：①在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，
又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，
即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，
在直角△ABG和直角△AFG中，

AB=AF AG=AG

，
∴△ABG≌△AFG；
②∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，
∴DE=FE=2，CE=4，
不妨设BG=FG=x，（x＞0），
则CG=6-x，EG=2+x，
在Rt△CEG中，（2+x）²=4²+（6-x）²
解得x=3，于是BG=GC=3，
（2）∵

GF

FE

=

3

2

，
∴

GF

GE

=

3

5

，
∴S_△FGC=

3

5

S_△EGC=

3

5

×

1

2

×4×3=

18

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．