(1)观察发现:如图①.△ABC与△DEF都是等腰直角三角形.∠ACB=∠EDF=90°.且点D在AB边上.AB.EF的中点均为O.连结BF.CD.CO.当点C.F.O在同一条直线上.BF和CD的数量关系是BF=CD．中问题启发.小刚同学将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②.并猜想BF=CD成立.请你给出证明,(3)拓展延伸如图③.若△ABC与△DEF都是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．（1）观察发现：如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，当点C、F、O在同一条直线上，BF和CD的数量关系是BF=CD．
（2）深入探究受（1）中问题启发，小刚同学将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，并猜想BF=CD成立，请你给出证明；
（3）拓展延伸如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为点O，此时，BF=CD还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出之间的数量关系．

分析（1）延长BF与CD交与点G，易证OD=OF，CO=BO，即可证明△BOF≌△COD，可得BF=CD；
（2）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD进而得出想BF=CD成立；
（3）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而得出$\frac{BF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答解：（1）如图①延长BF与CD交与点G，

∵O是等腰直角△DEF斜边EF中点，
∴EF⊥AB，OD=OF，
∵O是等腰直角△ABC斜边AB中点，
∴CO=BO，
∵在△BOF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=BO}\\{∠BOF=∠COD}\\{DO=FO}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD，（SAS）
∴BF=CD；
故答案为：BF=DC；

（2）猜想：BF=CD．理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．

（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴$\frac{OB}{OC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴$\frac{OF}{OD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠DOF=90°．
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴$\frac{BF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．