Question

15．△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，△ABC的面积为49，P为直线BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H．若PF=3，则PE=4或10．

Answer 1

分析 连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S_△ABP，S_△ACP，S_△ABC，再由S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC即可得出PE=PF+PH，先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH，P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．

解答 解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PF，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，
∵S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AC•PF+$\frac{1}{2}$AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH，
∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，AB=AC，
∴$\frac{1}{2}$×2CH•CH=49，
∴CH=7，
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为：4或10．

点评 本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，运用面积证明可使问题简便，分情况讨论是解题的关键．