Question

一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：
①MF=NF；
②四边形CMFN的面积保持不变；
③MN长度的最小值为2；
④以AM、BN、MN的长为边的三角形是直角三角形，
其中正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：连结CF，如图，根据等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得到CF=BF，CF平分∠ACB，CF⊥AB，∠B=45°，则∠ACF=45°，∠2+∠3=45°，利用等角的余角相等可得∠1=∠3，则可根据“ASA”判断△CFM≌△BFN，则MF=NF；由△CFM≌△BFN得到S_△CFM=S_△BFN，所以S_{四边形CMFN}=S_△BFC=

1

2

S_△ACB=4；易得△MFN为等腰直角三角形，则MN=

2

FM，当FM⊥AC时，根据垂相等最短得到FM最小，此时MN最小，利用△ACF为等腰直角三角形，即可得到当FM⊥AC时，FM=

1

2

AC=2，于是得到MN长度的最小值为2

2

；由△CFM≌△BFN得到CM=BN，同理可证明△CFN≌△AFM得到CN=AM，利用CN²+CM²=MN²得到AM²+BN²=MN²，于是根据勾股定理的逆定理即可判断以AM、BN、MN的长为边的三角形是直角三角形，所以④正确．

解答：解：连结CF，如图，
∵点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，
∴CF=BF，CF平分∠ACB，CF⊥AB，∠B=45°，
∴∠ACF=45°，∠2+∠3=45°
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△CFM和△BFN中，

∠MCF=∠B CF=BF ∠1=∠3

，
∴△CFM≌△BFN（ASA），
∴MF=NF，所以①正确；
∵△CFM≌△BFN，
∴S_△CFM=S_△BFN，
∴S_{四边形CMFN}=S_△BFC=

1

2

S_△ACB=

1

2

×

1

2

×4×4=4，所以②正确；
∵MF=NF，∠MFN=90°，
∴△MFN为等腰直角三角形，
∴MN=

2

FM，
当FM⊥AC时，FM最小，此时MN最小，
∵△ACF为等腰直角三角形，
∴当FM⊥AC时，FM=

1

2

AC=2，
∴MN长度的最小值为2

2

，所以③错误；
∵△CFM≌△BFN，
∴CM=BN，
同理可证明△CFN≌△AFM，
∴CN=AM，
在Rt△CMN中，CN²+CM²=MN²，
∴AM²+BN²=MN²，
∴以AM、BN、MN的长为边的三角形是直角三角形，所以④正确．
故答案为①②④．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；第④个结论需要运用勾股定理的逆定理进行判断．