Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-

4

3

x+4分别交x轴、y轴于点A、B在Y轴负半轴上有一点A′，且OA′=OA，直线A′B′⊥l交x轴于点B′
（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积？
（3）在直线A′B′上是否存在异于点C的另一点P，使得△A′BP与△A′BC的面积相等？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线l可求得A、B坐标，则可知A′坐标，又可求得tan∠OBA=tan∠OB′A′，可求得OB′，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线A′B′解析式；
（2）结合（1），联立两直线解析式可求得C点坐标，且容易求得A′B，可求得△A′BC的面积；
（3）由条件可知P点到y轴的距离和C点到y轴的距离相等，代入直线A′B′可求得P点坐标．

解答：解：（1）在y=-

4

3

x+4中，令y=0可得x=3，令x=0可得y=4，
∴A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4），
∴OA′=OA=3，
∴A′坐标为（0，-3），
∵A′B′⊥l，
∴∠OBA=∠A′B′O，
∴tan∠OBA=tan∠A′B′O，
∴

OA

OB

=

OA′

OB′

，即

3

4

=

3

OB′

，解得OB′=4，
∴B′坐标为（4，0），
设直线A′B′解析式为y=kx+b，
把A′、B′两点的坐标代入可得

4k+b=0 b=-3

，解得

k= 3 4 b=-3

，
∴直线A′B′解析式为y=

3

4

x-3；
（2）联立两直线解析式可得

y=- 4 3 x+4 y= 3 4 x-3

，解得

x= 84 25 y=- 12 25

，
∴C点到A′B的距离为

84

25

，
又∵A′（0，-3），B（0，4），
∴A′B=7，
∴S_△A′BC=

1

2

×7×

84

25

=

294

25

；
（3）∵S_△A′BP=S_△A′BC，
∴P到y轴的距离为

84

25

，
∵P异于C点，
∴P点横坐标为-

84

25

，
又∵P在直线A′B′，代入解析式可得y=

3

4

×（-

84

25

）-3=-

138

25

，
∴在直线A′B′上是存在点P，使得△A′BP与△A′BC的面积相等，P点的坐标为（-

84

25

，-

138

25

）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及直线的交点、三角形的面积等知识的综合应用．在（1）中求得B′的坐标是解题的关键，在（2）中求得两直线的交点坐标是关键，在（3）中得出P点的横坐标是解题的关键．本题难度不大，属于基础知识的小综合，容易得分．