Question

【题目】如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，则CE＝_____．

Answer 1

【答案】5．

【解析】

取BF的中点G，连接AG，则BG＝FG，由直角三角形斜边上的中线性质得出AG＝BF＝BG＝FG，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠AGC＝∠C，得出AG＝AC，得出GE＝CE，BD＝CD，设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2，得出BG＝FG＝GE+EF＝2x+2，由BD＝CD得出方程，解方程得出EF＝3，即可得出结果．

解：取BF的中点G，连接AG，

如图所示：

则BG＝FG，

∵AF⊥AB，

∴∠BAF＝90°，

∴AG＝BF＝BG＝FG，

∴∠B＝∠GAB，

∵∠AGC＝∠B+∠GAB＝2∠B，∠C＝2∠B，

∴∠AGC＝∠C，

∴AG＝AC，

∵AE⊥BC，

∴GE＝CE，

∵点D为BC边中点，

∴BD＝CD，

设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2，

∴BG＝FG＝GE+EF＝2x+2，

∵BD＝CD，

∴2x+2+x﹣2＝x+6，

解得：x＝3，

∴EF＝3，

∴CE＝EF+CF＝5；

故答案为：5．