如图1.△ABC中.CD⊥AB于D.且BD:AD:CD=2:3:4.(1)试说明△ABC是等腰三角形,(2)已知S△ABC=10cm2.如图2.动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动.同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动.当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒).①若△DMN的边与BC平行.求t的值,②若点E是边AC的中点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S_△ABC=10cm²，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

分析（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的判定定理解答；
（2）根据三角形的面积公式求出三角形的三边长，根据等腰三角形的性质列式计算即可；
（3）分DE=DM、ED=EM、MD=ME三种情况，根据等腰三角形的性质解答．

解答解：（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5x，又AB=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5x×4x=10cm²，
解得，x=1cm，
则BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AC=5cm，
①当MN∥BC时，AM=AN，即5-t=t，
∴t=2.5，
当DN∥BC时，AD=AN，
则t=3，
故若△DMN的边与BC平行时，t值为2.5或3．
②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，
当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形，
当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE=DM，则t-2=2.5，
∴t=4.5，
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=5，
如果MD=ME=t-2，则（t-2）²-（t-3.5）²=2²，
∴t=$\frac{49}{12}$，
综上所述，符合要求的t值为4.5或5或$\frac{49}{12}$．