Question

7．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：
①△AED≌△AEF 
②△AED为等腰三角形
③BE+DC＞DE
④BE²+DC²=DE²，
其中正确的有（　　）个．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由SAS△AED≌△AEF，证明证明△ABF≌△ACD，得出BF=CD；由△AED≌△AEF，得到DE=EF；证明∠EBF=90°，即可解决问题．

解答 解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=45°=∠DAE，
在△AED与△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
没有条件能证出△AED为等腰三角形，②错误；
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAF=∠DAC；
在△ABF与△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴BF=CD；
∵△AED≌△AEF，
∴DE=EF；
∵BE+BF＞EF，而BF=CD，
∴BE+DC＞DE，③正确；
∵∠EBF=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
即BE²+DC²=DE²，④正确；
综上所述：①③④3个均正确，
故选B．

点评 该题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．