Question

4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接OC，交⊙O于点D，连接BD并延长，交AC于点E，过点O作OF∥BE，交AC于点F，连接DF．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AC=$\sqrt{3}$，DC=1．求：
①⊙O的半径；
②DE的长度．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由AB是⊙O的直径及OF∥BE可得AD⊥BD、OF⊥AD，根据OA=OD得OF是AD的中垂线、∠1=∠2，继而知FA=FD，即∠3=∠4，从而由∠1+∠4=∠2+∠3，即∠ODF=∠OAF=90°，即可得证；
（2）①设⊙O的半径为R，由OA²+AC²=OC²列方程求解可得R；
②由OD=CD=1、∠ODF=90°知FO=FC，根据AO²+AF²=OF²即1+（$\sqrt{3}$-OF）²=OF²，解之可得OF的长，再由OF∥DE且OD=CD知DE=$\frac{1}{2}$OF，可得答案．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，
如图，连接AD，

又∵OF∥BE，
∴OF⊥AD，
∵OA=OD，
∴OF是AD的中垂线，且∠1=∠2，
∴FA=FD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠ODF=∠OAF=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）①设⊙O的半径为R，
在Rt△OAC中，∵OA²+AC²=OC²，
∴R²+（$\sqrt{3}$）²=（R+1）²，
解得：R=1，
∴⊙O的半径为1；
②∵OD=CD=1，且∠ODF=90°，
∴FO=FC，
在Rt△AOF中，∵AO²+AF²=OF²，
∴1+（$\sqrt{3}$-OF）²=OF²，
解得：OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵OF∥DE，且OD=CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查圆的切线的判定与性质、勾股定理、中垂线的性质及中位线定理，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题的关键．