Question

4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证：
（1）△ABE≌△CFE；
（2）四边形ABFD是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠DCA=60°等量代换得到∠DCA=∠BAC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，推出△CEF是等边三角形，证得∠CFE=∠CDA，求得BF∥AD，即可得到结论；

解答 证明：（1）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DCA=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠BAC，
在△ABE与△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCA=∠BAC}\\{AE=CE}\\{∠BEA=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFE；

（2）∵E是AC的中点，
∴BE=EA，
∵∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE=60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠CDA=∠DCA=60°，
∴∠CFE=∠CDA，
∴BF∥AD，
∵∠DCA=∠BAC=60°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABFD是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．