Question

12．如图，B，E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE的长为$\frac{2}{3}$π，∠C=90°，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{π}{9}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}π}}{9}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$

Answer 1

分析 首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S_△ABC-S_扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．

解答 解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵弧BE的长为$\frac{2}{3}$π，
∴$\frac{60π×R}{180}$=$\frac{2}{3}$π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S_△ABC-S_扇形BOE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$π．
故选：C．

点评 此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键．