Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}（m≠0）$的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=$\frac{4}{5}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（-3，4），再把A点坐标代入y=$\frac{m}{x}$可求得m=-12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；
（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．

解答 解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，
在Rt△OAD中，∵sin∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴AD=$\frac{4}{5}$OA=4，
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∴A（-3，4），
把A（-3，4）代入y=$\frac{m}{x}$得m=-4×3=-12，
所以反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$；
把B（6，n）代入y=-$\frac{12}{x}$得6n=-12，解得n=-2，
把A（-3，4）、B（6，-2）分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{6k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以一次函数解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2；
（2）当y=0时，-$\frac{2}{3}$x+2=0，解得x=3，则C（3，0），
所以S_△AOC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）当x＜-3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．