Question

19．如图1，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件先证出∠BCD=∠ACE，再根据SAS证出△DBC≌△ACE，得出∠B=∠CAE=∠BAC=60°，从而得出∠B+∠BAE=180，再根据平行线的判定即可证出AE∥BC；
（2）根据（1）证出的△DBC≌△ACE，得出∠BDC=∠AEC，在△DMC和△AME中，根据AA证出△DMC∽△AME，得出∠EAM=∠DCM=60°，再根据∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，即可得出AE∥BC．

解答 证明：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，
在△BDC与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠CAE，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°，
∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°，
∴∠B+∠BAE=180，
∴AE∥BC；

（2）成立，证明如下：
∵△DBC≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
在△DMC和△AME中，
∵∠BDC=∠AEC（已证），
∴∠DMC=∠EMA，
∴△DMC∽△EMA，
∴∠EAM=∠DCM=60°，
∴∠EAC=120°，
又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，
∴AE∥BC．

点评 本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证出∠B=∠CAE=∠BAC，熟练掌握三角形全等的判定与性质定理．