Question

如图，P为⊙O的直径AB反向延长线上一点，PQ切⊙O于点Q，若tan∠P=

3

4

，则tan∠B的值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  3

  5

• D、

  4

  5

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：计算题

分析：连接OQ，AQ，过A作AM⊥PQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到PQ垂直于OQ，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出tanP，设OQ=3k，得到PQ=4k，利用勾股定理得到OP=5k，由OP-OA表示出AP，再由一对直角相等，一对公共角，得到三角形APM与三角形OPQ相似，由相似得比例，表示出AM，在直角三角形APM中，利用勾股定理表示出PM，由PQ-PM表示出MQ，由弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠PQA=∠B，可得出tan∠PQA=tanB，在直角三角形AQM中，利用锐角三角函数定义求出tan∠PQA的值，即为tanB的值．

解答：解：连接OQ，AQ，过A作AM⊥PQ，如图所示：
∵PQ为圆O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，tanP=

OQ

PQ

=

3

4

，
设OQ=3k，则PQ=4k，根据勾股定理得：OP=5k，
AP=OP-OA=5k-3k=2k，
∵∠OQP=∠AMP=90°，∠P=∠P，
∴△APM∽△OPQ，
∴

AM

OQ

=

AP

OP

，
∴AM=

AP•OQ

OP

=

6

5

k，
在Rt△APM中，AP=2k，AM=

6

5

k，
根据勾股定理得：PM=

AP2-AM2

=

8

5

k，
∴MQ=PQ-PM=4k-

8

5

k=

12

5

k，
∵∠PQA=∠B，
∴tanB=tan∠PQA=

AM

MQ

=

6 5 k

12 5 k

=

1

2

．
故选B

点评：此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．