如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=8cm.BC=6cm.动点P.Q分别从点C.B开始沿边CA.BC匀速运动.点Q的速度为1cm/s.运动时间为ts．过点P作PE⊥AB.过点Q作QF⊥AB.垂足分别为E.F．(1)如果点P的速度为1cm/s.当t=$\frac{24}{7}$s时.四边形PEFQ为矩形．(2)如果改变点P的速度使四边形EFQP在某一时刻为正方形.则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点C，B开始沿边CA，BC匀速运动，点Q的速度为1cm/s，运动时间为ts．过点P作PE⊥AB，过点Q作QF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）如果点P的速度为1cm/s，当t=$\frac{24}{7}$s时，四边形PEFQ为矩形．
（2）如果改变点P的速度（匀速运动）使四边形EFQP在某一时刻为正方形，则点P的速度为$\frac{96}{37}$cm/s．

分析（1）根据题意得出CP=BQ=tcm，得出AP=8-t，由勾股定理求出AB=10，证明△APE∽△ABC，得出对应边成比例$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$，得出PE=$\frac{3}{5}$（8-t），同理：QF=$\frac{4}{5}$t，当PE=QF时，四边形PEFQ为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）根据题意得：当PE=EF=QF时，四边形EFQP是正方形，设点P的速度为xcm/s，由（1）得：PE=$\frac{3}{5}$（8-x），AE=$\frac{4}{5}$（8-x），QF=$\frac{4}{5}$t，BF=$\frac{3}{5}$t，求出EF=10-$\frac{4}{5}$（8-x）-$\frac{3}{5}$t，得出方程组，解方程组即可．

解答解：（1）根据题意得：CP=BQ=tcm，
∴AP=8-t，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，
∵PE⊥AB，QF⊥AB，
∴PE∥QF，∠PEA=∠QFB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{PE}{6}=\frac{8-t}{10}$，
解得：PE=$\frac{3}{5}$（8-t），
同理：QF=$\frac{4}{5}$t，
当PE=QF时，四边形PEFQ为矩形，
∴$\frac{4}{5}$t=$\frac{3}{5}$（8-t），
解得：t=$\frac{24}{7}$；
故答案为：$\frac{24}{7}$s；
（2）根据题意得：当PE=EF=QF时，四边形EFQP是正方形，
设点P的速度为xcm/s，
由（1）得：PE=$\frac{3}{5}$（8-x），AE=$\frac{4}{5}$（8-x），QF=$\frac{4}{5}$t，BF=$\frac{3}{5}$t，
∴EF=10-$\frac{4}{5}$（8-x）-$\frac{3}{5}$t，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}（8-x）=\frac{4}{5}t}\\{10-\frac{4}{5}（8-x）-\frac{3}{5}t=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{96}{37}}\\{t=\frac{150}{37}}\end{array}\right.$，
∴点P的速度为$\frac{96}{37}$cm/s．
故答案为：$\frac{96}{37}$．