Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的长．（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；

（2）作OG⊥AE，知AG＝CG＝AC＝4，证四边形ODEG是矩形，得出OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4，再证△ADE∽△ABD得AD2＝192，据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案．

（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠EAF，

∴∠DAE＝∠DAO，

∴∠DAE＝∠ADO，

∴OD∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：作OG⊥AE于点G，连接BD，如图2所示：

则AG＝CG＝AC＝4，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，

∴四边形ODEG是矩形，

∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4+4＝8，∠DOG＝90°，

∴AB＝2OA＝16，

∵AC＝8，CE＝4，

∴AE＝AC+CE＝12，

∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，

∴△ADE∽△ABD，

∴，即，

∴，

在Rt△ABD中，，

在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，

∴∠BAD＝30°，

∴∠BOD＝60°，

则弧BD的长度为＝．