Question

20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：
①△BEA与△ACD；
②△FED与△DEB；
③△CFD与△ABC；
④△ADF与△CFB．
其中相似的为（　　）

• A． ①④
• B． ①②
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据题意，分别寻找各对三角形相似的条件，运用判定方法判断．∠EFC=∠ADC=90°，所以可得∠DCA+∠FED=180°，又因为∠FED+∠AEB=180°，所以可得∠AEB=∠DCA，∠CDA=∠DAB=90°，进而可证明△BEA∽△ACD；再利用相似三角形相似的判定证明△FED与△DEB，△CFD与△ABG相似，而（4）不成．

解答 解：（1）∵矩形ABCD，∴∠EAB=∠CDA=90°，
∴∠BAF+∠CAD=90°，
又∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAD=∠ABF，
∴△BEA与△ACD相似；故此选项正确；
（2）△FED与△DEB相似．理由：DE²=AE²=EF•EB，∠DEF=∠BED；故此选项正确；
（3）△CFD与△ABG相似．理由：∠CDF=90°-∠EDF，∠AGB=90°-∠EBG，
由（2）的结论得：∠EDF=∠EBD，故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF=∠BAG；故此选项正确；
（4）△ADF与△CFB不具备相似条件．
故选A．

点评 此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．