Question

10．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC与∠ACB的平分线分别交AC，AB于点D，E．BD，CE相交于点F，现给出以下四个结论：①∠BFE=60°；②FE=FD；③AE=AD；④BD=BC．其中正确的是①②（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 ①正确．只要求出∠BFC即可解决问题；
②正确．在BC上截取BG=BE，连接FG．只要证明△EBF≌△GBF（SAS），△FDC≌△FGC（ASA）即可解决问题；
③④错误，假设成立，推出矛盾即可．

解答 解：如图，∵∠A=60°，BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠BFC=180°-60°=120°，
∴∠BFE=180°-∠BFC=60°故①正确，
在BC上截取BG=BE，连接FG．
∵BD是∠BAC的平分线，
∴∠EBF=∠GBF，
在△EAF和△GAF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=BG}\\{∠EBF=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴FE=FG，∠EFB=∠GFB=60°，
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°，
又∵∠DFC=∠EFB=60°，
∴∠DFC=∠GFC，
在△FDC和△FGC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠GFC}\\{FC=FC}\\{∠FCD=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD，故②正确，
AE不一定等于AD，若AE=AD则△ABC是等边三角形，显然不可能，故③错误，
BD不一定等于BC，若BD=BC，可以推出∠ABC=40°，显然不可能，故④错误，
故答案为①②．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．