Question

10．图中的A（-2，1），B（1，-2）和C（3，0）是一个三角形的顶点．
（a）求AB，BC和CA的长度，答案以根式表示；
（b）求△ABC的周长，准确至三位有效数字；
（c）证明△ABC是一个直角三角形；
（d）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （a）根据两点间的距离公式可得；
（b）根据三角形的周长公式即可得到结论；
（c）依据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形；
（d）根据三角形的面积公式可得结论．

解答 解：（a）∵A（-2，1），B（1，-2）和C（3，0），
∴AB=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（1+2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．BC=$\sqrt{（1-3）^{2}+（-2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（-2-3）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{26}$；
（b）△ABC的周长=AB+AC+BC=3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{26}$=5$\sqrt{2}$+$\sqrt{26}$=12.2；
（c）∵AB²+BC²=（3$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²=26=AC²，
∴∠B=90°，
∴△ABC是一个直角三角形；
（d）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}×$3$\sqrt{2}×$2$\sqrt{2}$=6．

点评 本题主要考查两点间的距离公式和勾股定理逆定理，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．