Question

7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（7，3），C（12，0）．点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点C出发沿CO以2cm/s的速度向点O运动（其中有一点到达终点，另一点也立即停止运动）
（1）运动多少时间后，四边形BPQC为平行四边形？
（2）运动多少时间后，四边形BPQC为等腰梯形？
（3）运动多少时间后，四边形BPQC为直角梯形？
（4）运动多少时间后，△QPB为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先由运动知，CQ=2t，BP=6-t，进而根据平行四边形得性质即可建立方程求解即可；
（2）先判断出Rt△BFC≌Rt△PEQ，再用CQ=EQ+EF+CF建立方程即可得出结论；
（3）先判断出CQ=CF+PB，进而建立方程即可得出结论；
（4）分三种情况讨论计算即可得出结论．

解答 解：∵A（1，3），B（7，3），
∴AB∥x轴，AB=7-1=6，
∵C（12，0），
∴OC=12，
设运动时间为t，（0≤t≤6）
（1）由运动知，AP=t，CQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t，
∵四边形BPQC为平行四边形，
∴BP=CQ，
∴6-t=2t，
∴t=2秒，
即：运动2秒后，四边形BPQC为平行四边形

（2）如图1，
过点B作BF⊥OC，过点P作PE⊥OC，
∴四边形PEFB是矩形，
∴PB=EF，PE=BF，
∵B（7，3），
∴F（7，0），
∴CF=5，
∵四边形PBCQ是等腰梯形，
∴PQ=BC，
在Rt△BFC和Rt△PEQ中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=PQ}\\{BF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFC≌Rt△PEQ，
∴EQ=CF=5，
∴CQ=EQ+EF+CF，
由运动知，AP=t，CQ=2t，
∴EF=PB=6-t，
∴2t=5+6-t+5，
∴t=$\frac{16}{3}$，
即：运动$\frac{16}{3}$秒后，四边形BPQC为等腰梯形

（3）如图2，过点B作BF⊥OC，
∵四边形PBCQ是直角梯形，
∴四边形BFQP是矩形，
∴FQ=PB，
∴CQ=CF+FQ=CF+PB，
由（2）知，CF=5，
由（1）知，PB=6-t，
∴2t=5+6-t，
∴t=$\frac{11}{3}$，
即：运动$\frac{11}{3}$秒后，四边形BPQC为直角梯形；

（4）设运动时间为t，
∴AP=t，CQ=2t，
∴OQ=12-t，
∴P（t+1，3），Q（12-t，0），
∴B（7，3），
∴BP²=（6-t）²=t²-12t+36，PQ²=（t+1-12+t）²+9=4t²-44t+130，BQ²=（12-t-7）²+9=t²-10t+34，
∵△QPB为等腰三角形，
∴①当BP=BQ时，t²-12t+36=t²-10t+34，
∴t=1，
②当BP=PQ时，t²-12t+36=4t²-44t+130，
此方程无解；
③当BQ=PQ时，4t²-44t+130=t²-10t+34，
∴t=$\frac{27}{4}$（舍）或t=$\frac{15}{4}$，
即：运动1秒或$\frac{15}{4}$秒后，△QPB为等腰三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰梯形和直角梯形的性质，等腰三角形得性质，解本题的关键是用方程的思想思考问题，是一道中等难度的中考常考题．