Question

2．平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，在x轴上有一点P，以点P、O、B为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标是（0，-4）或（0，-1）或（0，1）．

Answer 1

分析 需要分类讨论：△POB∽△AOB，△POB∽△BOA，利用点的坐标与线段的关系求得三角形相关线段的长度，然后由相似三角形的对应边成比例进行解答．

解答 解：∵直线y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A（4，0），B（0，-2），
∴OA=4，OB=2，AB=2$\sqrt{5}$，
①当△POB∽△AOB时，$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OB}{OB}$=1，即$\frac{OP}{4}$=1，则OP=4，故P（0，-4）；
②当△POB∽△BOA时，$\frac{PO}{BO}$=$\frac{OB}{OA}$=1，即$\frac{PO}{2}$=$\frac{2}{4}$，则PO=1，故P（0，-1）或P（0，1）；
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（0，-4）或（0，-1）或（0，1）；
故答案是：（0，-4）或（0，-1）或（0，1）．

点评 本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象上点的坐标特征．解题时，注意运用分类讨论的数学思想，以防漏解．