Question

已知，直线y=-

3

x+

3

与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）则三角形ABC的面积S_△ABC=

 

；点C的坐标为

 

；
（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出A、B两点的坐标，利用勾股定理得到AB的长，等腰Rt△ABC的面积为AB平方的一半；
（2）三角形BOP的底边BO=

3

，BO边上的高为P点的横坐标1，所以它的面积是一个常数

3

2

；
（3）实际上给定△ABP的面积，求P点坐标．利用面积和差求△ABP的面积，注意要分类讨论．

解答：解：（1）令y=-

3

x+

3

中x=0，得点B坐标为（0，

3

）；
令y=0，得点A坐标为（1，0）．
由勾股定理可得AB=

12+( 3 )2

=2，
所以S_△ABC=

1

2

AB2=

1

2

×4=2；
作CD⊥x轴于点D，
∴△BAO≌△ACD，
∴DA=BO=

3

，CD=AO=1，
∴点C的坐标为（1+

3

，1）；

（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=

3

为底，点P到y轴的距离1为高，
∴S_△BOP=

3

2

为常数；

（3）当点P在第四象限时，
∵S_△ABO=

3

2

，S_△APO=-

1

2

a∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=2，
即

3

2

-

1

2

a-

3

2

=2解得a=-4，
（或S△ABP=-

a

2

即-

a

2

=2解得a=-4）
当点P在第一象限时，同理可得a=4
综上，a=±4

点评：本题考查了一次函数的综合知识，掌握一次函数的性质，会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；会用坐标表示线段；掌握用面积的和差表示不规则图形的面积．