Question

8．如图，一条直线与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴交于点D，AC⊥x轴，垂足为C．
（1）求反比例函数的解析式及D点的坐标；
（2）点P是线段AD的中点，点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动，到点A，C时停止运动，设运动的时间为t（s）．
①求证：PE=PF．
②若△PEF的面积为S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值，即可得出反比例函数的解析式；求出点B的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式，容易求出D点的坐标；
（2）①证明△ACD为等腰直角三角形，得出∠ADC=45°，由等腰直角三角形的性质得出CP=PD，CP⊥AD，∠ADC=∠ACP，由SAS证明△ECP≌△FDP，即可得出PE=PF；
②由△ECP≌△FDP，得出∠EPC=∠FPD，得出∠EPF=∠CPD=90°，证出△EPF为等腰直角三角形，得出△PEF的面积S=$\frac{1}{2}$PE²，当PE⊥AC时，PE最小，求出PE的最小值，即可得出S的最小值．

解答 （1）解：把点A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；
把点B（4，n）代入得：n=1，
∴B（4，1）
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=5，
∴直线AB的解析式为：y=-x+5，
当y=0时，x=5，
∴D点坐标为：（5，0）；
（2）①证明：∵A（1，4），C（1，0 ），D（5，0），AC⊥x轴于C，
∴AC=CD=4，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°，
∵P为AD中点，
∴∠ACP=∠DCP=45°，CP=PD，CP⊥AD，
∴∠ADC=∠ACP，
∵点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动，
∴EC=DF，
在△ECP和△FDP中，$\left\{\begin{array}{l}{CP=PD}&{\;}\\{∠ECP=∠PDF}&{\;}\\{EC=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECP≌△FDP（SAS），
∴PE=PF；
②解：∵△ECP≌△FDP，
∴∠EPC=∠FPD，
∴∠EPF=∠CPD=90°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∴△PEF的面积S=$\frac{1}{2}$PE²，
∴△PEF的面积最小时，EP最小，
∵当PE⊥AC时，PE最小，
此时EP最小值=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴△PEF的面积S的最小值=$\frac{1}{2}$×2²=2．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结论．