Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3经过A（-1，0）、B（3，0）、C三点，P（2，m）是抛物线与直线l：y=k（x+1）的一个交点．
（1）求二次函数关系式和点C的坐标；
（2）对于动点Q（1，n），求QB-QP的最大值；
（3）若动点M在直线l：y=k（x+1）上方的抛物线上运动，过点M作x轴的垂线交x轴于点F，如果直线AP把线段MF分成1：2的两部分，求点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接把A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax²+bx+3，求出a、b的值，进而得出二次函数的解析式，再令x=0求出y的值即可得出点C的坐标；
（2）由题意可知动点（1，n）在二次函数的对称轴上，故当点Q、P、B三点共线时，QB-QP的值最大，最大值为QB-QP=PB，把x=2代入y=-x²+2x+3可求出y的值，进而得出P点坐标，再根据两点间的距离公式即可得出结论；
（3）把P（2，3），代入直线y=k（x+1）得，k=1，故可得出直线l的关系式为y=x+1，再根据AP把线段MF分成1：2两部分，可得出

EF

MF

=

1

3

或

EF

MF

=

2

3

，
设点M的横坐标为x，代入代数式进行计算即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+3经过A（-1，0）、B（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，解得

a=-1 b=2

，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，D（0，3）；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴动点（1，n）在二次函数的对称轴上，
∴当点Q、P、B三点共线时，QB-QP的值最大，最大值为QB-QP=PB，
把x=2代入y=-x²+2x+3得，y=3，即点P的坐标为（2，3），
∵B（3，0），
∴QB-QP=PB=

12+32

=

10

；

（3）∵把P（2，3），代入直线y=k（x+1）得，k=1，
∴直线l的关系式为y=x+1，
∵AP把线段MF分成1：2两部分，
∴

EF

MF

=

1

3

或

EF

MF

=

2

3

，
∵∠PAB=45°，
∴EF=AF，
设点M的横坐标为x，则

x+1

-(x+1)(x-3)

=

1

3

或

x+1

-(x+1)(x-3)

=

2

3

，解得x=0或x=

3

2

，代入y=x+1得，y=3或y=

15

4

∴点M的坐标为（0，3），（

3

2

，

15

4

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、最值问题等知识，难度适中．