Question

4．已知正三角形A₁B₁C₁的边长为a分别以这个三角形的三边中点为顶点作一个三角形，记为△A₂B₂C₂，再以△A₂B₂C₂各边中点为顶点做三角形记为△A₃B₃C₃，…依次做下去，则△A_nB_nC_n的周长为$\frac{3a}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理知，△A₂B₂C₂的各边的边长是△A₁B₁C₁的各边边长的$\frac{1}{2}$，△A₃B₃C₃是，△A₂B₂C₂的各边的边长的$\frac{1}{2}$，…，找出规律即可得出结论．

解答 解：等边△A₁B₁C₁的边长为a，
∴等边△A₁B₁C₁的周长为3a．
∵A₂、B₂分别是边A₁B₁、B₁C₁的中点，
∴A₂B₂是△A₁B₁C₁的中位线，
∴A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁．
同理，A₂C₂=$\frac{1}{2}$A₁C₁，C₂B₂=$\frac{1}{2}$C₁B₁．
∴△A₂B₂C₂的周长=$\frac{1}{2}$等边△A₁B₁C₁的周长=$\frac{3a}{2}$．
同理，△A₃B₃C₃的周长=$\frac{1}{2}$△A₂B₂C₂的周长=$\frac{3a}{{2}^{2}}$等边△A₁B₁C₁的周长．
…，
∴△A_nB_nC_n的周长=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$△A₁B₁C₁的周长=$\frac{3a}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：$\frac{3a}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．