Question

【题目】如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+m，S的最大值为：；（3）M′的坐标为：（，）．

【解析】

（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；
（2）连接OM，设M的坐标为（m，-m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化；
（3）当S取得最大值时，此时，m=，则y=-m2+2m+3=，即可求解．

（1）令x=0代入y=-3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴二次函数解析式为：y=-x2+2x+3；

（2）连接OM，

令y=0代入y=-x2+2x+3，
∴0=-x2+2x+3，
∴x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，-m2+2m+3），
S=S四边形OAMB-S△AOB
=S△OBM+S△OAM-S△AOB
=×m×3+×1×（-m2+2m+3）-×1×3

∴当m=时，S取得最大值 ．

（3）当S取得最大值时，此时，m＝，

则y＝﹣m2+2m+3＝，

故点M′的坐标为：（，）．