Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．

（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；

（2）求△ABC外接圆的面积；

（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；

（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1，D2，使得＝＝S△ABC．并求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）5π；（3）Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；（4）存在，T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．

【解析】

（1）由N与M图象下方的部分关于x轴对称，则可求N的解析式；

（2）求出A、B、C点坐标，分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，由等腰三角形的性质和勾股定理可求外接圆半径；

（3）分两种情况：当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），再在每种情况中分两种情况①当BQ∥PC，BQ＝PC时，②当BP∥CQ，BP＝CQ时，利用平行四边形对角线互相平分的性质，中点重合联立方程组求解；

（4）由已知可得D1D2所在直线与直线BC平行，D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，由b﹣3＝4，可求y＝﹣x+7，再与抛物线联立方程组即可求D1、D2点坐标；T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，则|t﹣3|＝，则五个点分别在直线y＝﹣x+或y＝﹣x+上，再将直线与M、N的解析式联立即可求坐标．

解：（1）∵N与M图象下方的部分关于x轴对称，

∴N所在函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵曲线N交y轴于点C，

∴C（0，3），

分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，

∵Rt△BOC为等腰直角三角形，

∴OO'＝OH＝O'H＝1，

∵HB＝2，

∴O'B＝，

∵O'B是△ABC外接圆的半径，

∴△ABC外接圆的面积＝5π；

（3）当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），

∴m≥3或m≤﹣1；

①当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），

∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，

＝，解得n＝2﹣或n＝2+，

∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；

②当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），

∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；

当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），

∴﹣1≤m≤3，

③当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），

∴＝，解得m＝0或m＝2，

＝，解得n＝3或n＝1，

∴Q（1，0）或Q（3，0），

∵Q（3，0）与B（3，0）重合，

∴Q（1，0）；

④当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），

∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；

综上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；

（4）∵＝＝S△ABC，

∴D1D2所在直线与直线BC平行，

∵BC＝3，

设A点到BC的距离为h，

∵△ABC的面积＝×3h＝×4×3，

∴h＝2，

∴D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，

设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，

∴b﹣3＝4，

∴b＝7，

∴y＝﹣x+7，

联立，解得x＝或x＝，

∴D1（，），D2（，）；

联立，解得x无解；

综上所述：D1（，），D2（，）；

∵T1，T2，T3，T4，T5与点B，C围成的三角形的面积为，

∴T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，

设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，

∴|t﹣3|＝，

∴t＝或t＝，

∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，

当点在M上时，x≥3或x≤﹣1，

联立，解得x＝或x＝﹣，

∴x＝﹣，

∴T1（﹣，）；

联立，解得x＝或x＝，

∴T2（，）或T3（，）；

当点在N上时，﹣1≤x≤3，

联立，解得x＝（舍）或x＝，

∴T4（，）；

联立，解得x＝，

∴T5（，）；

综上所述：存在五个点符合条件，分别是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．