Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点DD，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE＝∠ABD

（1）证明：DE是⊙O的切线；

（2）若BD＝24，sin∠CDE=，求圆⊙O的半径和AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）13，

【解析】

(1)连结OD ,如图，根据圆周角定理,由AB为⊙O的直径得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB = OD得∠OBD=∠ODB,则∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD,所以∠ADO+∠CDE =90°，然后根据平角的定义得∠ODE=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线;

（2）设＝，则＝，根据勾股定理得到，求得圆的半径为13；连结，如图，根据等腰三角形的性质得到CO⊥AB，根据三角函数的定义即可得到结论．

证明：连结，如图，

∵为的直径，

∴,即

∵＝，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴是的切线；

∵

∴

在 中，

设＝，则＝，

∴，

∴＝，解得＝，

∴＝，

∴圆的半径为；

连结，如图，

∵＝，＝，

∴

∴

在 中，∵

∴