Question

6．阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：$\frac{2}{3}$=$\frac{3-1}{3}$=1-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），等等．解答下列问题：
（1）已知a=$\frac{2011}{2012}$，b=$\frac{2012}{2013}$，c=$\frac{2013}{2014}$，比较a，b，c的大小．
（2）求$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{342}$+$\frac{1}{380}$的值．
（3）求$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{40}$+…+$\frac{1}{2（n-1）n}$+$\frac{1}{2n（n+1）}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出a=1-$\frac{1}{2012}$，b=1-$\frac{1}{2013}$，c=1-$\frac{1}{2014}$，再比较即可；
（2）先根据已知式子变形，再合并，最后求出即可；
（3）先根据已知式子变形，再合并，最后求出即可．

解答 解：（1）∵a=$\frac{2011}{2012}$=1-$\frac{1}{2012}$，b=$\frac{2012}{2013}$=1-$\frac{1}{2013}$，c=$\frac{2013}{2014}$=1-$\frac{1}{2014}$，
∵$\frac{1}{2012}$＞$\frac{1}{2013}$＞$\frac{1}{2014}$，
∴a＜b＜c；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{20}$
=1-$\frac{1}{20}$
=$\frac{19}{20}$；

（3）原式=$\frac{1}{2}$×[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{n}{2n+2}$．

点评 本题考查了分式的混合运算的应用，能正确根据已知算式变形是解此题的关键．