Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（5，4），点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，点B恰好落在OA边上的点F处，过点F作FG∥AB，交CE于点G，连接BG．
（1）求证：四边形BEFG是菱形；
（2）求直线CE的表达式．

Answer 1

考点：菱形的判定,待定系数法求一次函数解析式,矩形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）由折叠的性质可得：BE=EF，GF=BG，∠BGE=∠FGE，∠BEG=∠FEG，又由FG∥AB，易证得BG∥EF，可证得四边形BEFG是平行四边形，即可得四边形BEFG是菱形；
（2）首先可求得OF的长，然后设AE=a，可得方程：a²+2²=（4-a）²，继而求得点E的坐标，然后利用待定系数法求得直线CE的表达式．

解答：（1）证明：由折叠的性质可得：BE=EF，GF=BG，∠BGE=∠FGE，∠BEG=∠FEG，
∵FG∥AB，
∴∠FGE=∠BEG，
∴∠BGE=∠FEG，
∴BG∥EF，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴?BEFG是菱形；

（2）解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（5，4），
∴OC=AB=4，BC=OA=5，
由折叠的性质可得：CF=BC=5，
∴OF=

CF2-OC2

=3，
∴AF=OA-OF=2，
设AE=a，则EF=BE=AB-AE=4-a，
∴a²+2²=（4-a）²，
解得：a=1.5，
∴点E（5，1.5），
设直线CE的解析式为：y=kx+b，

b=4 5k+b=1.5

，
解得：

k=-0.5 b=4

，
∴直线CE的表达式为：y=-0.5x+4．

点评：此题考查了菱形的判定、折叠的性质、矩形的性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．